带电粒子在匀强电场中的类平抛运动

带电粒子在匀强电场中受到恒定的电场力作用，在恒力作用下的匀变速运动有六种，分别是三种直线运动和三种曲线运动。

☞如果需要考虑重力，重力和恒定电场力合并仍然是恒力，运动还是相似的。

☞恒力作用下的运动可以用抛体运动进行类比和对比。

一：三种直线运动

1.类自由落体运动

初速度为零的匀加速直线运动

2.类竖直上抛运动

初速度方向与加速度方向相反，先匀减速直线运动后反向匀加速直线运动

3.类竖直下抛运动

初速度方向与加速度方向相同，做匀加速直线运动

二：三种曲线运动

1.类平抛运动

初速度方向与加速度方向垂直

2.类斜上抛运动

初速度方向与加速度方向夹角大于90°

3.类斜下抛运动

初速度方向与加速度方向夹角小于90°

三：如何识别

1.初速度和合力(加速度)共线的是直线运动

①初速度为零是类自由落体运动

②初速度与合力反向是类竖直上抛运动

③初速度与合力同向是类竖直下抛运动

2.初速度和合力夹角为90°，是类平抛运动

3.初速度和合力夹角大于90°，是类斜上抛运动

4.初速度和合力夹角小于90°，是类斜下抛运动

5.如果出现速度大小(动能)相等的两点

①直线运动一定是类竖直上抛运动

②曲线运动一定是类斜上抛运动

6.速度(动能)有最小值

①直线运动一定是类竖直上抛运动

②曲线运动一定是类斜上抛运动

7.速度(动能)会减小(合力做负功)或先减后增

①直线运动一定是类竖直上抛运动

②曲线运动一定是类斜上抛运动

8.轨迹是对称抛物线的一定是类斜上抛运动

9.中途某点合力功率为零

①直线运动一定是类竖直上抛运动

②曲线运动一定是类斜上抛运动

10.中途某点加速度方向与速度方向垂直一定是类斜上抛运动

四：处理方法

不管采用哪种分解法，目的都是为了分解为两个更简单的运动。

1.正交分解法(根据需要进行分解)

①分解初速度

②分解加速度

③沿位移方向建立坐标系，初速度和加速度都分解(一般处理斜面问题)

2.斜交分解法

用正交分解分解为两个比较复杂的运动时，可利用斜交分解，可能将运动分解成两个更为简单的运动。

分解为沿初速度方向上的匀速直线运动和加速度方向上的类自由落体运动。

3.类比法

把抛体运动知识迁移

例题：如图所示，

平行板电容器两极板的间距为d，极板与水平面成45°角，上极板带正电。一电荷量为q的带正电的粒子在电容器中靠近下极板处，以初动能Ek₀竖直向上射出。不计重力，极板尺寸足够大。若粒子能打到上极板，则两极板间电场强度的最大值为Ek₀/2qd。

【解析】y方向做类竖直上抛运动，临界条件是到达上板时速度恰好为零。

☞问离板(斜面)距离时，沿板(斜面)和垂直板(斜面)建立直角坐标系。

例题：如图所示

的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹.质点从M点出发经P点到达N点.已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点的时间相等.下列说法中正确的是（B）

A.质点从M到N的过程中速度大小保持不变

B.质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同

C.质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同

D.质点在M、N间的运动不是匀变速运动

【解析】

时间相等，弧长越长小，速率越小，这是类斜上抛运动。

匀变速曲线运动，相同时间内，速度变化相同。

例题：在光滑绝缘的水平面上有匀强电场，一质量m＝2kg的带电小滑块在水平方向上恒定的电场力F＝4N（方向未知）的作用下运动，如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5m/s.滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin37°＝0.6，则（BC）

A.水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角

B.滑块从P到Q的时间为3s

C.滑块从P到Q的过程中速度最小值为4m/s

D.PQ两点连线的长度为15m

【解析】在恒力作用下的曲线运动，P、Q两点速度相等，此运动一定是类竖直上抛运动。a=2m/s²。

斜交分解法:

sinα=½at²/vt=3/5

得t=3s

例：如图所示，

一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知()

A.Q点的电势比P点高

B油滴在Q点的动能比它在P点的大

C油滴在Q点的电势能比它在P点的大

D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小

解:在重力场和匀强电场的复合场中，重力和电场力的合力仍然是恒力，根据轨迹特点，此运动一定是类竖直上抛运动。

A、根据粒子的弯折方向可知，粒子受合力一定指向上方；同时因轨迹关于P点对称，则可说明电场力应竖直向上；粒子带负电，故说明电场方向竖直向下；则可判断Q点的电势比P点高；故A正确；B、粒子由P到Q过程，合外力做正功，故油滴在Q点的动能比它在P点的大；故B正确；

C、因电场力做正功，故电势能减小，Q点的电势能比它在P点的小；故C错误；

D、因受力为恒力，故PQ两点加速度大小相同，故D错误。

例题：在方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，

小球的运动轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8J，在M点的动能为6J，不计空气的阻力，则下列判断正确的是（AC）

A.小球水平位移x₁与x₂的比值为1：3

B.小球水平位移x₁与x₂的比值为1：4

C.小球落到B点时的动能为32J

D.小球从A点运动到B点的过程中最小动能为6J

例题：如图所示，

空间存在一匀强电场，与水平方向的夹角为30°，AB与电场垂直，一质量为m，电荷量为q的带正电小球以初速度v₀从A点水平向右抛出，经过时间t小球最终落在C点，速度大小仍是v₀，且AB＝BC，求：

（1）电场强度E；

（2）小球下落高度h.

【解析】

重力和电场力合力仍然是恒力。A、C两点速度大小相等，是类斜上抛运动。

例题：如图所示，

在足够大的真空空间中，存在水平向右的匀强电场，场强大小为E=mgtanθ/q，现将质量为m，带电量为+q的小球从电场中的某点竖直向上抛出，抛出的初速度大小为v₀，求：

（1）小球上升的最大高度；

（2）小球在电场中运动的最小速率以及从抛出点到最小速率

【解析】

（1）水平方向做类自由落体运动，竖直方向做竖直上抛运动。最大高度与水平方向运动无关。

☞问最大高度时，选择水平和竖直直角坐标系，进行正交分解。

H=v₀²/2g

（2）类比斜上抛运动

☞问最小速度时，类比斜上抛运动，沿加速度方向上建立直角坐标系。

Vmin=v₀sinθ

例题：求证从斜面上斜抛一个物体，初速度平行，则落回斜面的末速度也平行。

【解析】

由三角形相似得：

v₀t/v₀′t′=½gt²/½gt′²⇒v₀/v₀′=t/t′

推导出速度三角形也是相似的，如下图所示，

v和v′同向，得证。

该运动可逆，反之亦然。

【拓展】

☞起点和落点在同一直线上，初速度平行，则末速度也平行。

例题：如图所示,

小球以初速度v₀在距离地面高度为h的位置向上斜抛，求抛射的最大水平射程。

【解析】

由动能定理或机械能守恒得落地速度为

最大水平射程为x=v₀cosθ·t

在速度三角形中，面积

S=½v₀·gt·sin(90°-θ)

=½v₀·gt·cosθ

=½gx

得x=2S/g

S=½v₀·v·sinφ

当φ=90°时，

S最大且Smax=½v₀v。

最大射程v₀v/g。

由图可知θ=α时即tanθ=v₀/v时，水平射程最大。

例题：如图所示，

平抛、斜抛两种运动的起点终点相同，则两种运动的时间之比为（）

【解析】

设位移为S，S·sin30°=½gt₁²，

S=½gt₂²。