巴拿赫塔斯基悖论(巴拿赫塔斯基悖论的基本定义)

“巴拿赫塔斯基悖论”是数学中非常有意思的一个悖论，它的大致意思是：把一个球按一定方法切割成无穷多的小块后，重新整理组合，可以得到两个与原球体一样大的球体。

这听上去非常不可思议，但是在数学中，一旦涉及到“无穷”，很多不可思议的事情就会发生。而且这个过程实际上是用数学推理严格证明的，所以，它应该被叫做“巴拿赫塔斯基定理”。只是它的结论非常反直觉，人们才给它冠以“悖论”的称号。

但“巴拿赫塔斯基悖论”的所涉及的内容有些抽象，不便理解，本文中，我先说两个与这个悖论类似，但更容易理解的悖论，作为准备知识。

准备知识之前，我们仍然需要其他一些准备知识，主要是关于无穷大和无穷基数的知识，特别是“可数集合”和“不可数集合”的概念。我相信很多读者已经了解过无穷基数的概念，网上的相关科普内容也非常多，我简单复述一下。

首先，无穷集合有两大类，可数集和不可数集。可数集，顾名思义，就是可以“数出来”的集合。即存在一种方法把，集合里的所有元素罗列出来，不重复、不遗漏。自然数显然符合这个条件。数学家证明了，有理数也是可数集。

不可数集就是不能用以上方法来罗列元素的无穷集合。最典型的不可数集就是实数集。

另外一个重要概念叫“等势”，“等势”的通俗含义就是“一样大”。当两个无穷集合之间的元素可以建立一一对应的时候就叫做这两个集合等势或者一样大。而可数集和不可数集是不等势的，康托用著名的对角线论证法证明了这一点，通俗地说就是实数比自然数“多”。

无穷集合最大的特点就是，它的子集和自身可以是等势的。比如自然数中，偶数与全体自然数是等势的，俗称“偶数与自然数一样多”。

希尔伯特曾经用一个有无穷多房间的旅馆来解释这一点。假设某个旅馆有无穷多的房间，房间编号用自然数编号，现在已经住满了。现在又来了无穷多个旅客要入住，那怎么办?

旅馆老板说：“不用慌，马上能腾出无穷多个旅馆”。方法就是让所有的住户搬到自己房号2倍的房间里去，1->2, 2->4,3->6等等。如此一来，全体奇数房间就空出来了，那么无穷多的新旅客就可以入住了。

以上这种性质就是无穷集合带来的一些惊人结果，它是关于可数集合的。这次我们要把对不可数集合进行类似的操作，从而产生更不可思议的结果。

第一个例子，叫做“超级英文词典”（Hyperwebster），这个例子来自于数学家Ian Stewart在1996年所提出的一个有趣的例子。

假设有这么一家出版社，要出版一本超级英文词典。这本词典要包含所有的英文单词构成的字符串，无论是有限还是无限长度的，全部包含在内。就是说，所有英文字母构成的字符串，这本词典里都有，而且包含无限长的单词。

超级词典中的单词例子：

以A开头的有：

A, AA, AAA, AAAA...(无穷个A)，AB, ABA, ABC（无穷个C)...

以B开头的有：

B, BA, BB, BABA...(无穷个A)，BAB（无穷个B),...

以其他字母开头的单词：

CA, ..., KA, ... , MD, ... , ZZZZ...

总之，任何的字母组合序列，无论有限还是无限长度，都包含其中。

出版社发现，这本词典太厚了，所以他们决定按每个单词的首字母，分成26卷来出版这套词典。那么第一卷的单词就是以A开头的单词, 比如AA, AAA, AB, ABA, AC, ACC等。类似得，以不同字母开头的单词，各自进入不同的分册，一共26本。

这么一来，出版社又发现一个问题。既然第一分册里的单词都是以A开头，那么这个字母“A”似乎就没必要印刷了，只要知道其中的单词开头都有一个A就可以了。此时，一个奇妙的现象发生了：当出版社在第一分册中，省略了每个单词开始的A之后，此时印刷出来的词典就是所有26本词典所包含的内容，一本词典变成了26本！为什么是这样？证明如下：

当把首字母的A去掉后，剩下的字母组合无论怎样，它必然也是一个合法的单词，有一个起始字母，所以，它必然出现在某本分册中。

而对原先所有分册中已有的单词，如果在最左边给它添加一个“A”，所得字符串就是以A起始的单词，应该进入第一分册。所以把第一分册的首字母A去掉，就可以得到全部词典内容！当然任何一本分册词典都可以如法炮制，1变26，就是如此简单！

超级词典中，A分册中的一些单词，去掉首字母后的例子：

AAA -> AA， "AA"应该出现在原先的A分册中。

AZB -> ZB， "ZB" 应该出现在原先的Z分册中。

ABCCC...(无穷个C) -> BCCC... , BCCC...应该出现在原先的B分册中。

总之，A分册中的单词去掉首字母“A"之后，就得到了完整的一本超级词典！

”超级词典悖论“与”希尔伯特旅馆悖论“的主要区别在于可数集和不可数集的区别。超级词典所包含的单词数量是不可数的，没有办法去罗列其中的单词。如果按照字母数量去罗列：

A, B,.. Z, AA, AB, AC...AZ, AAA，....

你永远也无法罗列到单词： ”AAAAA...(无穷多个）”！

当我们把整本词典拆成26份后，每一本词典中的单词数量仍然是不可数的。而不可数集之间是可以建立一一对应的，这就是1本词典变26本的逻辑基础。

以上这个例子不太像数学里的命题，以下是一个更为数学化的悖论，它来自意大利数学家维塔利的构造。维塔利构造了一个方法，可以把一个圆拆成若干份之后重新组合，得到两个与其自身同样大小的圆。

（上图：朱塞佩·维塔利，意大利数学家，1875-1932）

先考虑一个单位圆盘，排除圆心，圆盘上的点如果用极坐标表示。

首先，可以认为，整个圆盘是由幅角从0到的所有半径构成的。然后，对这些半径进行分类，分类的目标是：

把所有的半径分成不可数无穷多的类别，并且每一类中有可数无穷多个。另外，每条半径必须属于且仅属于一个类别。

有这样的分类方法吗？维塔利构造出了一个巧妙的方法：

取任意一条半径，然后旋转任意的的有理数倍数的弧度，所得半径都归为一类（其实这里的可以替换成任何一个无理数）。举几个具体例子解释一下，马上就能明白。

比如取幅角为0的半径，也就是x轴正方向上的半径，我们要旋转的有理数倍数。前面说了，有理数是一个可数集，我们可以把它们枚举出来。一般我们的枚举方法是把有理数用分数写出来，然后按分子分母之和，从小到大排列。分子分母之和一样的，按分子从小到大排列。那开始的几项，只考虑正数的话，就是：

, , , , , , ，...等等。

对我们的问题来说，就是把半径去旋转这些有理数乘以所得弧度：

, , , ， ，，...等。由此旋转之后所得的全体半径，都属于一类。其中幅角相差的半径，其实是同一条，则舍去重复的。那么，以下幅角的半径（不按顺序），都会归为同一类：

{0，, ，，, , ，...}

因为0到之间的有理数有无穷多，以上分类中有无穷多条半径。又因为有理数是可数集，这个集合仍然是可数集，这意味着还有许多半径没有被归类。

如果我们把每一组的第一条半径称为这一类半径的“生成元”的话，那就继续从没有选到过的半径中，仍选一条半径作为生成元。比如幅角是、自然常数e, ，等等等。 以下是其他一些半径幅角的分类：

{，, ，，, , ，...}

{，, ，，, , ，...}

重复这一步骤，直到所有半径都属于某一类。因为这样的分类结果有两个非常好的性质。

首先，任何一条半径必然属于，且仅属于一个分类。因为如果这个半径不属于任何分类，那么它就应该被选做生成元。而如果它属于两个分类的话，那么意味着有两个生成元分别旋转的有理数倍数后达到了同一位置，表示两个生成元之间，也必然可以通过旋转的有理数倍数后互相到达，所以这两个生成元应该属于同一类，因此不会有某条半径属于两类。

其次，给定两条半径，我们可以判定两条半径是否属于同一类。判定方法很简单，就是把两条把两条半径的幅角相减，看结果是不是的有理数倍数。

因此以上分类方法，在数学上的定义是相当良好的。这样，我们把一个单位圆按半径分成了不可数的无数类，而每一类中，又有可数无穷多的半径。现在，到了见证奇迹的时刻，就是把这些半径重新组合，组成两个单位圆。

方法其实非常简单了，因为每一类的半径是可数多的，则如同之前的希尔伯特旅馆中的例子，取每一类中位于偶数位置的半径，设它的序号是2n, 那么就把它放回到本类原先第n号位置的半径的位置；取奇数位置的半径，设它的序号是2n-1，那么也把它放回到本类原先第n号位置的半径的位置。

比如，原先某一类的半径的幅角值是：

{, , , , , , ...}

则可以把它按位置的奇偶数拆成两份：

{, , , ...}

{, , , ...}

这两份都可以与原先的集合构成一一对应。

这样，每个位置就有两条半径与其对应。对全体半径完成这一操作后，你就得到了两个单位圆！

以上步骤稍微改造，你甚至于可以变出10个，100个圆，也是毫无障碍！那么以上过程是否一点问题也没有呢？其实它确实有一个令人不舒服的点，就是生成元的选取。之前，我只说从没有选取的半径中，任选择一条作为生成元。但是，确切得怎么选我是说不出来了。即使完成后，最终那些半径构成了生成元，我也说不出来。这个“生成元”集合的定义大概只有这种办法：

{一个0到之间的实数的子集，其中任何两个数的差不是的有理数倍数; 同时如果再加入任何一个数，都会违背这个性质}。

这就是全体生成元的定义。这个定义的缺陷在于，给定一个实数，无法判断这个实数是否属于该集合。因此，以上过程中用到了“选择公理”。

选择公理介绍，转自维基百科：

非正式地说，选择公理声明：给定一些盒子（可以是无限个），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具体的选择规则”（当每个盒子都恰好只有一个小球具有某项特征）这两种情况下。关于“存在具体的选择规则”可以透过以下例子理解：假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择，由于在鞋子之中“存在具体的选择规则”(左边的鞋子不同于右边的鞋子)，故不需要选择公理，仍可做出有效的选择。然而，假设有无限双袜子，且每双袜子都没有可区分的特征，在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。

尽管曾具有争议性，选择公理现在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。

在一些构造性数学的理论中会避免选择公理的使用，不过也有的将选择公理包括在内。

巴拿赫塔斯基悖论也会用到选择公理，下一篇文章我会介绍巴拿赫塔斯基悖论。